Fermat se klein stelling

In hierdie publikasie sal ons een van die hoofstellings in die teorie van heelgetalle oorweeg –  Fermat se klein stellingvernoem na die Franse wiskundige Pierre de Fermat. Ons sal ook 'n voorbeeld van die oplossing van die probleem ontleed om die aangebied materiaal te konsolideer.

Verklaring van die stelling

1. Aanvanklike

If p is 'n priemgetal a is 'n heelgetal wat nie deelbaar is deur pdan a^p-1 - 1 gedeel deur p.

Dit is formeel so geskryf: a^p-1 ≡ 1 (teen p).

let wel: 'n Priemgetal is 'n natuurlike getal wat slegs deelbaar is deur XNUMX en homself sonder res.

Byvoorbeeld:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• aantal 15 gedeel deur 5 sonder 'n res.

2. Alternatief

If p is 'n priemgetal, a enige heelgetal, dan a^p vergelykbaar met a modulo p.

a^p ≡ a (teen p)

Geskiedenis van die vind van bewyse

Pierre de Fermat het die stelling in 1640 geformuleer, maar dit nie self bewys nie. Later is dit gedoen deur Gottfried Wilhelm Leibniz, 'n Duitse filosoof, logikus, wiskundige, ens. Daar word geglo dat hy reeds in 1683 die bewys gehad het, hoewel dit nooit gepubliseer is nie. Dit is opmerklik dat Leibniz die stelling self ontdek het, sonder om te weet dat dit reeds vroeër geformuleer is.

Die eerste bewys van die stelling is in 1736 gepubliseer, en dit behoort aan die Switserse, Duitser en wiskundige en werktuigkundige, Leonhard Euler. Fermat se Klein Stelling is 'n spesiale geval van Euler se stelling.

Voorbeeld van 'n probleem

Vind die res van 'n getal 2¹² on 12.

Oplossing

Kom ons stel ons 'n getal voor 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 is 'n priemgetal, dus, deur Fermat se klein stelling kry ons:

2¹¹ ≡ 2 (teen 11).

vandaar, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (teen 11).

Dus die nommer 2¹² gedeel deur 12 met 'n res gelyk aan 4.