Verhoog 'n komplekse getal tot 'n natuurlike mag

In hierdie publikasie sal ons oorweeg hoe 'n komplekse getal tot 'n mag verhoog kan word (insluitend die gebruik van die De Moivre-formule). Die teoretiese materiaal word vergesel van voorbeelde vir beter begrip.

Verhoog 'n komplekse getal tot 'n mag

Onthou eers dat 'n komplekse getal die algemene vorm het: z = a + bi (algebraïese vorm).

Nou kan ons direk voortgaan met die oplossing van die probleem.

Vierkantige nommer

Ons kan die graad voorstel as 'n produk van dieselfde faktore, en dan hul produk vind (terwyl ons dit onthou i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Voorbeeld 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Jy kan ook gebruik, naamlik die kwadraat van die som:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

let wel: Op dieselfde manier, indien nodig, kan formules vir die kwadraat van die verskil, die derdemag van die som / verskil, ens. verkry word.

Nde graad

Verhoog 'n komplekse getal z in natura n baie makliker as dit in trigonometriese vorm voorgestel word.

Onthou dat, oor die algemeen, die notasie van 'n getal soos volg lyk: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Vir eksponensiëring, kan jy gebruik De Moivre se formule (so genoem na die Engelse wiskundige Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Die formule word verkry deur in trigonometriese vorm te skryf (die modules word vermenigvuldig, en die argumente word bygevoeg).

Voorbeeld 2

Verhoog 'n komplekse getal z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) tot die agtste graad.

Oplossing

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).