Onttrek die wortel van 'n komplekse getal

In hierdie publikasie gaan ons kyk hoe jy die wortel van 'n komplekse getal kan neem, en ook hoe dit kan help om kwadratiese vergelykings op te los waarvan die diskriminant minder as nul is.

Onttrek die wortel van 'n komplekse getal

Vierkantswortel

Soos ons weet, is dit onmoontlik om die wortel van 'n negatiewe reële getal te neem. Maar wanneer dit by komplekse getalle kom, kan hierdie aksie uitgevoer word. Kom ons vind dit uit.

Kom ons sê ons het 'n nommer z = -9. Vir √-9 daar is twee wortels:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Kom ons kontroleer die verkry resultate deur die vergelyking op te los z² = -9, dit nie vergeet nie i² = -1:

(-3i)² = (3)² ⋅ ek² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ ek² = 9 ⋅ (-1) = -9

So, ons het dit bewys -3i и 3i wortels is √-9.

Die wortel van 'n negatiewe getal word gewoonlik soos volg geskryf:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i ens.

Wortel tot die mag van n

Gestel ons kry vergelykings van die vorm z = ⁿ√w… Dit het n wortels (z₀, of₁, of₂,…, Z_N-1), wat met die formule hieronder bereken kan word:

|w| is die module van 'n komplekse getal w;

φ – sy argument

k is 'n parameter wat die waardes neem: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kwadratiese vergelykings met komplekse wortels

Deur die wortel van 'n negatiewe getal te onttrek, verander die gewone idee van uXNUMXbuXNUMXb. As die diskriminant (D) is minder as nul, dan kan daar nie reële wortels wees nie, maar hulle kan as komplekse getalle voorgestel word.

voorbeeld

Kom ons los die vergelyking op x² – 8x + 20 = 0.

Oplossing

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, maar ons kan steeds die wortel van die negatiewe diskriminant neem:

√D = √-16 = ±4i

Nou kan ons die wortels bereken:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Daarom, die vergelyking x² – 8x + 20 = 0 het twee komplekse vervoegde wortels:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i