Wat is die limiet van 'n funksie

In hierdie publikasie sal ons een van die hoofkonsepte van wiskundige analise oorweeg – die limiet van 'n funksie: sy definisie, sowel as verskeie oplossings met praktiese voorbeelde.

Bepaling van die limiet van 'n funksie

Funksie limiet – die waarde waarna die waarde van hierdie funksie neig wanneer sy argument na die beperkende punt neig.

Beperk rekord:

• die limiet word deur die ikoon aangedui lim;
• hieronder word bygevoeg na watter waarde die argument (veranderlike) van die funksie neig. Gewoonlik hierdie x, maar nie noodwendig nie, byvoorbeeld:x→1″;
• dan word die funksie self aan die regterkant bygevoeg, byvoorbeeld:

  

Dus, die finale rekord van die limiet lyk soos volg (in ons geval):

Lees soos "grens van die funksie aangesien x neig na eenheid".

x→ 1 – dit beteken dat “x” konsekwent waardes aanneem wat oneindig eenheid nader, maar nooit daarmee sal saamval nie (dit sal nie bereik word nie).

Besluitlimiete

Met 'n gegewe nommer

Kom ons los bogenoemde limiet op. Om dit te doen, vervang eenvoudig die eenheid in die funksie (want x→1):

Dus, om die limiet op te los, probeer ons eers om die gegewe getal eenvoudig in die funksie daaronder te vervang (as x neig na 'n spesifieke getal).

Met oneindigheid

In hierdie geval neem die argument van die funksie oneindig toe, dit wil sê, "X" neig na oneindig (∞). Byvoorbeeld:

If x→∞, dan neig die gegewe funksie na minus oneindigheid (-∞), want:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 ens.

Nog 'n meer komplekse voorbeeld

Om hierdie limiet op te los, verhoog ook eenvoudig die waardes x en kyk na die "gedrag" van die funksie in hierdie geval.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Dus, vir "X"neig na oneindigheid, die funksie x² +3x –6 groei onbepaald.

Met onsekerheid (x neig na oneindig)

In hierdie geval praat ons van limiete, wanneer die funksie 'n breuk is, waarvan die teller en noemer polinome is. Waarin "X" neig na oneindig.

voorbeeld: kom ons bereken die limiet hieronder.

Oplossing

Die uitdrukkings in beide die teller en die noemer neig na oneindig. Daar kan aanvaar word dat die oplossing in hierdie geval soos volg sal wees:

Maar nie alles so eenvoudig nie. Om die limiet op te los, moet ons die volgende doen:

1. Vind x tot die hoogste krag vir die teller (in ons geval is dit twee).

2. Net so definieer ons x tot die hoogste mag vir die noemer (is ook gelyk aan twee).

3. Nou deel ons beide die teller en die noemer deur x in senior graad. In ons geval, in beide gevalle – in die tweede, maar as hulle anders was, moet ons die hoogste graad neem.

4. In die gevolglike resultaat neig alle breuke na nul, daarom is die antwoord 1/2.

Met onsekerheid (x neig na 'n spesifieke getal)

Beide die teller en die noemer is polinome, maar "X" neig na 'n spesifieke getal, nie na oneindig nie.

In hierdie geval maak ons ​​voorwaardelik ons ​​oë toe vir die feit dat die noemer nul is.

voorbeeld: Kom ons vind die limiet van die funksie hieronder.

Oplossing

1. Kom ons vervang eers die getal 1 in die funksie, waarna "X". Ons kry die onsekerheid van die vorm wat ons oorweeg.

2. Vervolgens ontbind ons die teller en noemer in faktore. Om dit te doen, kan jy die verkorte vermenigvuldigingsformules gebruik, as hulle geskik is, of.

In ons geval is die wortels van die uitdrukking in die teller (2x² – 5x + 3 = 0) is die getalle 1 en 1,5. Daarom kan dit voorgestel word as: 2(x-1)(x-1,5).

Noemer (x-1) is aanvanklik eenvoudig.

3. Ons kry so 'n gewysigde limiet:

4. Die breuk kan verminder word deur (x-1):

5. Dit bly net om die nommer 1 te vervang in die uitdrukking wat onder die limiet verkry is: