Contents [show]
In hierdie publikasie sal ons die definisie van die rangorde van 'n matriks oorweeg, sowel as die metodes waarmee dit gevind kan word. Ons sal ook voorbeelde ontleed om die toepassing van teorie in die praktyk te demonstreer.
Bepaling van die rangorde van 'n matriks
Matriks rang is die rangorde van sy stelsel van rye of kolomme. Enige matriks het sy ry- en kolomrange, wat gelyk is aan mekaar.
Ry stelsel rang is die maksimum aantal lineêr onafhanklike rye. Die rangorde van die kolomstelsel word op 'n soortgelyke wyse bepaal.
Notas:
- Die rangorde van die nulmatriks (aangedui deur die simbool "θ“) van enige grootte is nul.
- Die rangorde van enige ryvektor of kolomvektor wat nie nul is nie, is gelyk aan een.
- As 'n matriks van enige grootte ten minste een element bevat wat nie gelyk is aan nul nie, dan is die rangorde daarvan nie minder nie as een.
- Die rangorde van 'n matriks is nie groter as sy minimum dimensie nie.
- Elementêre transformasies wat op 'n matriks uitgevoer word, verander nie die rangorde daarvan nie.
Vind die rangorde van 'n matriks
Randing Minor Metode
Die rangorde van 'n matriks is gelyk aan die maksimum orde van 'n nie-nul.
Die algoritme is soos volg: vind die minderjariges van die laagste ordes tot die hoogste. Indien minderjarig ndie orde is nie gelyk aan nul nie, en alle daaropvolgende (n+1) is gelyk aan 0, dus is die rangorde van die matriks n.
voorbeeld
Om dit duideliker te maak, kom ons neem 'n praktiese voorbeeld en vind die rangorde van die matriks A hieronder, met behulp van die metode om minderjariges te grens.
Oplossing
Ons het te doen met 'n 4 × 4 matriks, daarom kan sy rangorde nie hoër as 4 wees nie. Daar is ook nie-nul elemente in die matriks, wat beteken dat sy rang nie minder as een is nie. So kom ons begin:
1. Begin nagaan minderjariges van die tweede orde. Om mee te begin, neem ons twee rye van die eerste en tweede kolomme.
Mineur is gelyk aan nul.
Daarom gaan ons oor na die volgende mineur (die eerste kolom bly, en in plaas van die tweede neem ons die derde).
Die minderjarige is 54≠0, so die rangorde van die matriks is ten minste twee.
let wel: As hierdie minderjarige gelyk aan nul blyk te wees, sal ons die volgende kombinasies verder nagaan:
Indien nodig, kan die opsomming op dieselfde manier voortgesit word met stringe:
- 1 en 3;
- 1 en 4;
- 2 en 3;
- 2 en 4;
- 3 en 4.
As alle tweede-orde minderjariges gelyk aan nul was, dan sou die rangorde van die matriks gelyk wees aan een.
2. Ons het feitlik dadelik daarin geslaag om 'n minderjarige te vind wat by ons pas. So kom ons gaan aan minderjariges van die derde orde.
By die gevind minderjarige van die tweede orde, wat 'n nie-nul resultaat gegee het, voeg ons een ry en een van die kolomme wat in groen uitgelig is (ons begin van die tweede een).
Die minderjarige het geblyk nul te wees.
Daarom verander ons die tweede kolom na die vierde. En met die tweede poging kry ons 'n minderjarige wat nie gelyk is aan nul nie, wat beteken dat die rangorde van die matriks nie minder as 3 kan wees nie.
let wel: as die resultaat weer nul blyk te wees, in plaas van die tweede ry, sal ons die vierde een verder neem en die soektog na 'n "goeie" mineur voortgaan.
3. Nou bly dit om te bepaal minderjariges van die vierde orde gebaseer op wat vroeër gevind is. In hierdie geval is dit een wat ooreenstem met die determinant van die matriks.
Mineur is gelyk aan 144≠0. Dit beteken dat die rang van die matriks A gelyk aan 4.
Reduksie van 'n matriks na 'n trapvorm
Die rang van 'n stapmatriks is gelyk aan die aantal van sy nie-nul rye. Dit wil sê, al wat ons hoef te doen is om die matriks na die toepaslike vorm te bring, byvoorbeeld deur gebruik te maak van , wat, soos ons hierbo genoem het, nie sy rang verander nie.
voorbeeld
Vind die rangorde van 'n matriks B hieronder. Ons neem nie 'n te komplekse voorbeeld nie, want ons hoofdoel is bloot om die toepassing van die metode in die praktyk te demonstreer.
Oplossing
1. Trek eers die verdubbelde eerste van die tweede reël af.
2. Trek nou die eerste ry van die derde ry af, vermenigvuldig met vier.
Dus het ons 'n stapmatriks gekry waarin die aantal nie-nul rye gelyk is aan twee, daarom is die rangorde daarvan ook gelyk aan 2.